Hola Javier! Pues en realidad, en cuanto a la actividad en sí se refiere, es exactamente lo mismo. Es decir, los dos conceptos hablan de lo mismo, pedalear al ritmo de la música en una bicicleta estática diseñada para ello.
La palabra "Spinning" es una marca y por lo tanto una palabra registrada. En realidad "Spinning" hace referencia a un programa de formación creado por Johny Goldberg (Johny "G" para los amigos) en 1987. Como fué el primero en introducir la actividad en todo el mundo, se convirtió en un "genérico" y a cualquier cosa que se tratara de pedalear con una bicicleta estática con rueda de inercia, piñon fijo, en grupo y con música, se le llamaba Spinning. Hasta que llegaron las denuncias claro!! Fué entonces cuando la gente empezó a concienciarse de que el uso de palabra "Spinning" no era legal. Así pues, consistiendo en lo mismo, la palabra correcta es Ciclismo Indoor o si te gusta más en inglés Indoor cycling.
Por otro lado y algo muy diferente es el uso que haga cada uno (me refiero a instructores) de la actividad y por lo tanto la forma de pedalear o impartir su estilo de pedaleo a los demás. Es cierto que, en los origenes de la actividad, la filosofía Spinning era bastante diferente a lo que es ahora. En aquel entonces era un concepto algo "místico", en muchas ocasiones no se pedaleaba al ritmo de la música, se usaban frecuencias de pedaleo muy altas y movimientos del cuerpo un tanto extraños (te invito a que pongas "Spinning Johny G" en YouTube y verás a lo que me refiero). Pero todo esto ha cambiado. Hoy en día cuando impartimos "Ciclismo indoor", "Spinning" o como le quieras llamar, todos tratamos de hacer una actividad saludable, rítmica y con sentido de trabajo, donde la seguridad y la efectividad de el que la practica se lo más importante.

Espero haber resuelto tus dudas.

Saludos y Km con Bestcycling...